Una sombra no es un fenómeno óptico complicado: es el resultado de proyectar un objeto sobre una superficie usando rayos paralelos. Como el Sol está astronómicamente lejos, los rayos que llegan a la Tierra son, para todo propósito práctico, paralelos entre sí. Esa es la simplificación central: no necesitas saber dónde está el Sol exactamente en kilómetros, sólo necesitas su dirección.
En los capítulos 1–3 desarrollamos exactamente esa dirección: la altitud α y el azimut γ del Sol. Aquí los vamos a usar para proyectar sombras sobre tres tipos de plano: el suelo (planta), las paredes verticales (alzado) y la representación tridimensional (perspectiva).
1. La sombra fundamental: un poste sobre el suelo
Empezamos con el caso elemental: un poste vertical de altura $h$ plantado en el suelo. El Sol tiene altitud α y azimut γ. La punta del poste está en el aire. ¿Dónde cae su sombra en el suelo?
Por geometría de triángulo rectángulo, la sombra forma con la base del poste un triángulo cuya hipotenusa es el rayo solar. Tan(α) = altura / largo de sombra. Despejando:
Cuando α → 0° (Sol en el horizonte) la sombra crece hacia infinito. Cuando α → 90° (Sol en el cenit) la sombra desaparece. A 45° de altitud la sombra mide exactamente lo mismo que la altura del poste.
La dirección de la sombra es la opuesta al azimut del Sol: si el Sol está en azimut γ desde el sur (positivo oeste), la sombra apunta en azimut γ + 180° (hacia el norte si el Sol está en el sur, hacia el oeste si el Sol está en el este, etc.). Combinando longitud y dirección obtenemos las coordenadas cartesianas de la punta de la sombra.
donde $\psi_\text{N} = 180° + \gamma$ es el azimut desde el norte. Los signos negativos reflejan que la sombra cae en la dirección opuesta a la proyección horizontal del Sol.
2. Sombra en planta de un objeto cualquiera
Para un objeto más complejo (un edificio, una pieza de mobiliario, un árbol esquematizado como cilindro), basta con proyectar punto por punto. Cada vértice del objeto tiene tres coordenadas $(x, y, z)$ y se proyecta al suelo según:
Es la misma fórmula del gnomon aplicada a cada vértice. Las aristas del objeto se proyectan como segmentos que conectan las sombras de sus extremos. La silueta exterior del objeto, proyectada, forma el contorno de la sombra.
Para un edificio con muros verticales y techo plano, la sombra en planta consiste en:
- El propio polígono del edificio (la huella en planta).
- Más una banda exterior, igual al polígono desplazado en la dirección de la sombra, conectando los vértices del techo a sus proyecciones.
Ese desplazamiento horizontal es el mismo que la sombra del gnomon de altura igual a la del edificio. Si el edificio mide 12 m y el Sol está a α = 30°, los rayos del techo caen a 12/tan(30°) ≈ 20.78 m del muro.
3. Sombra en alzado: el ángulo de perfil
Cuando el plano sobre el que cae la sombra es vertical (un muro), las cosas se complican. La cuestión no es la altitud α del Sol, sino el ángulo con el que el rayo "ataca" ese muro específico — porque el rayo incidente, descompuesto, tiene una componente normal al muro y una paralela al muro. La componente paralela no proyecta sombra; la normal, sí.
Para un muro cuya normal exterior tiene azimut $\gamma_w$ desde el sur (positivo oeste), el ángulo solar efectivo en el plano normal al muro es el llamado ángulo de perfil:
donde $\gamma - \gamma_w$ es el ángulo entre la dirección horizontal del Sol y la normal del muro (también llamado incidencia azimutal). Cuando el Sol está exactamente frente al muro ($\gamma = \gamma_w$), $\alpha' = \alpha$. Cuando el Sol queda paralelo al muro ($|\gamma - \gamma_w| \to 90°$), $\alpha' \to 90°$ — el rayo se vuelve horizontal en la dirección normal y deja de proyectar sombra útil sobre él.
Si tu muro mira directamente al sur ($\gamma_w = 0°$) y el Sol al mediodía está también al sur ($\gamma = 0°$), el ángulo de perfil al mediodía es exactamente la altitud α. Pero a las 9 am o a las 3 pm el Sol no está enfrente del muro: el ángulo de perfil cambia respecto a la altitud, y por eso el sombreado de un alero horizontal no es uniforme a lo largo del día.
4. Sombras en perspectiva (3D)
Una vez tienes la dirección 3D del Sol —simplemente el vector unitario en la posición $(α, γ)$— puedes generar sombras de cualquier escena. En arquitectura computacional esto es lo que hace el motor de renderizado: se proyecta cada vértice por el rayo paralelo y se compone la silueta resultante. El siguiente widget hace exactamente eso para un edificio simple:
Tres cosas para notar mientras juegas con el modelo:
- Al amanecer y al atardecer, las sombras se alargan dramáticamente — lógico: $L = h/\tan(α)$ y α tiende a cero.
- La orientación del edificio (el slider "rotación") cambia qué fachadas reciben sol cuando. Un edificio orientado este-oeste tiene sus fachadas longitudinales mirando norte y sur, lo que es óptimo para controlar el sol con aleros horizontales.
- En verano (junio en el hemisferio norte) las sombras al mediodía son cortas; en invierno son largas y se proyectan más al norte. Esa diferencia es la base del diseño bioclimático con aleros.
5. Diseño de aleros: la pregunta inversa
Un alero horizontal sobre una ventana es el dispositivo de sombreado más simple, y casi siempre el más efectivo en climas cálidos para fachadas que miran al ecuador (sur en hemisferio norte, norte en hemisferio sur). Su geometría está determinada por dos números:
- Profundidad D: cuánto sale el alero respecto a la cara exterior del muro.
- Altura h: a qué altura sobre la ventana queda el alero.
El borde del alero proyecta una sombra que cae sobre el muro hasta una altura por debajo del propio alero igual a:
donde α′ es el ángulo de perfil para esa hora y fecha. La sombra cubre el muro entre la base del alero y un punto $\Delta h$ más abajo. Si la ventana tiene altura H, el alero cubre completamente la ventana cuando $\Delta h \ge H$, o sea cuando $D \ge H/\tan(\alpha'_{\min})$, donde $\alpha'_{\min}$ es el ángulo de perfil más bajo del periodo que quieras sombrear.
6. Otros dispositivos: parteluces y celosías
Para fachadas que no miran al ecuador (este, oeste, en general cualquier orientación donde el Sol llegue muy lateral), los aleros horizontales son poco efectivos: el ángulo de perfil se vuelve enorme y para sombrear la ventana necesitarías un alero descomunal.
En esas orientaciones se usan parteluces verticales (paneles laterales que sobresalen del muro), o combinaciones de horizontales y verticales (celosías, jaulas). Cada elemento se calcula proyectando su geometría sobre la carta solar. La buena noticia: una vez sabes proyectar la sombra de un poste, sabes proyectar todo lo demás — cualquier dispositivo es una colección de superficies cuya intersección con los rayos solares se puede calcular pieza por pieza.
7. ¿Cómo se trazan a mano?
En la metodología tradicional de los talleres de arquitectura mexicana, la secuencia para dibujar sombras a mano es:
- Seleccionar fecha y hora. Calcular o consultar α y γ (las cartas solares pre-impresas son útiles aquí).
- Trazar la planta: marcar el contorno del edificio en planta. Para cada vértice, trazar una línea en la dirección $\psi_\text{N} + 180°$ con longitud $z/\tan\alpha$. La envolvente de todas estas sombras es la sombra en planta.
- Trazar el alzado: identificar qué muro recibe el Sol. Calcular el ángulo de perfil α′. Los rayos solares en el alzado bajan con esa pendiente; trazarlos desde los vértices superiores hasta el suelo o el muro siguiente.
- Para la perspectiva, proyectar primero en planta y alzado, luego transferir los puntos al sistema de proyección (isométrica, dimétrica, cónica) que estés usando.
L = 10 / tan(86°) ≈ 0.7 m, hacia el norte. Es uno de los días con sombra más corta del año en esa latitud — y por eso es el momento en que los aleros horizontales son más efectivos para sombrear los muros mirando al sur.tan α′ = tan α / cos(γ − γ_w). Cuando el azimut del Sol coincide con la normal del muro, el coseno vale 1 y α′ = α. Es el único caso. En cualquier otro momento (Sol no exactamente enfrente del muro), α′ > α — el sombreado del alero se "deforma" y cubre menos de lo que cubría al mediodía.Cierre
Has cerrado el ciclo: empezaste mirando una bola de roca girando alrededor de una estrella, y terminaste calculando el alero exacto que tu fachada sur necesita para sombrear la ventana en pleno verano sin oscurecer la sala en el solsticio de invierno.
Las cinco capas que viste —generalidades, ángulos, gráfica solar, mascarilla, sombras— son parte de la misma máquina. La geometría solar es una de las pocas regiones del diseño donde la naturaleza es perfectamente predecible y las herramientas de cálculo son centenarias y fiables. Lo único que cambia entre proyectos es la latitud, la orientación y el contexto. Todo lo demás lo dicta el Sol.
Esa predictibilidad es liberadora, no rígida. Te deja invertir el tiempo que ganaste en lo que de verdad importa: usar la luz del Sol como otro material del proyecto.